Diantrilestari's Blog

May 25, 2010

INTEGRAL TAK TENTU

Filed under: Uncategorized — diantrilestari @ 1:35 pm

Ini adalah materi Integral Tertentu, silahkan belajar..🙂

INTEGRAL TAK TENTU

  1. KONSEP DASAR  INTEGRAL

Dalam kalkulus integral dikenal dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tertentu.

Diferensial / anti derivative / integral, yaitu suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila fungsi turunan dari fungsinya diketahui ( kebalikan dari derivatif atau disebut juga proses integrasi / integrand ).

A. INTEGRAL TAK TENTU

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan antinya, yaitu F(x).Dinamakan integral tak tentu karena ada ketidaktentuan pada nilai konstantanya.

Bentuk umum :

∫ f(x) dx      = F(x) + c

∫ un. du       =  , n  ≠ -1

Dimana : c adalah sembarang konstanta yang nilainya tak tentu.

Contoh :

∫ f(x) dx                                    = F(x) + c

∫ f(x) dx                                    = F(x) + c

∫ 12x3 + 9x2 – 2x + 2  dx          =

= 3x4 + 3x3 – x2 + 2x + c

Bila c = 4, maka F(x) = 3x4 + 3x3 – x2 + 2x + 4

  1. II. PENERAPAN INTEGRAL TAK TENTU DALAM EKONOMI

Penerapan integral tak tentu yaitu untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila persamaan fungsi marginalnya diketahui. Karena fungsi marginal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya yaitu integrasi dapat dicari fungsi asal dari fungsi turunan (fungsi total).

Macam-macam penerapan integral tak tentu dalam ekonomi :

A.      Fungsi Biaya

Biaya total (TC) adalah integral biaya marginal (MC) :

F(Q) = ∫ f (Q) dQ

TC   = ∫ MC dQ

Dan Biaya rata-rata (AC) :

AC = TC / Q

Contoh:

Diketahui suatu perusahaan fungsi biaya marginalnya MC = 12Q-9Q2, maka carilah fungsi biaya total dan biaya rata-rata dimana  c ( konstanta ) sebesar 4 ?

TC       = ∫ MC dQ

= ∫ 12Q – 9Q2 dQ

= 6Q2 – 3Q3 + c

Jika c   = 4

TC       = 6Q2 – 3Q3 + 4

AC       = TC / Q

= 6Q – 3Q2 + 4/Q

Analisa : Dari perhitungan di atas maka dapat diketahui bahwa fungsi biaya total adalah TC = 6Q2 – 3Q3 + 4 dan fungsi biya rata-rata adalah AC = TC / Q = 6Q – 3Q2 + 4/Q.

B.     Fungsi Penerimaan

Penerimaan total (TR) adalah integral dari penerimaan marginal (MR).

F(Q) = ∫ f(Q) dQ

TR = ∫ MR dQ

Contoh :

Diketahui MR suatu perusahaan adalah 15Q2 + 10Q – 5. Tentukan penerimaan totalnya (TR), jika c = 0 ?

TR       = ∫ MR dQ

= ∫ 15Q2 + 10Q – 5 dQ

= 5Q3 + 5Q2 – 5Q + c

jika c    = 0

TR       = 5Q3 + 5Q2 – 5Q

C.     Fungsi Produksi

  1. Produk Total : P = f(Q), dimana P = keluaran dan  Q = masukan
  2. Produk Marginal : MP = P’ = dP / dQ = f’(Q)
  3. Produk Total adalah integral dari produk marginal.
P = ∫ MP dQ = ∫ f’(Q) dQ

Contoh :

Diketahui produk marginalnya 2Q2 + 4, maka produk totalnya jika c = 0 ?

P          = ∫ MP dQ

= ∫ 2Q2 + 4

= 2/3 Q3 + 4Q + c

jika c    = 0

P          = 2/3 Q3 + 4Q

Analisa : Dari perhitungan tersebut dapat diketahui bahwa fungsi total produksi adalah P = 2/3 Q3 + 4Q.

D.     Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyatakan dalam fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).

Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi (C) adalah integral dari MPC dan tabungan (S) adalah integral dari MPS.

C = ∫ MPC dY = F(Y) + c

S = ∫ MPS dY = G(Y) + c

  1. k = a = Autonomous Consumption : konsumsi otonom menunjukkan besarnya konsumsi nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol
  2. k = a =  Autonomous Saving : Tabungan otonom menunjukkan besarnya tabungan nasional pada saat Pendapatan Nasional sebesar nol (0).
  3. MPC (Marginal Propensity to Consume) : Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (∆C) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.
  4. MPS (Marginal Propensity to Saving) : Perbandingan antara besarnya perubahan saving (∆S) dengan perubahan Pendapatan Nasional (∆Y) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut.

Keterangan :

MPC < 1, menunjukkan sebagian besar penggunaan tambahan pendapatan digunakan  untuk menambah besarnya konsumsi, sedangkan sisanya yaitu sejumlah  kecil merupakan tambahan tabungan.

MPC > ½, menunjukkan lebih dari 50 % pendapatan yang diperoleh digunakan untuk  konsumsi.

MPC selalu positif, karena jika pendapatan naik, konsumsi akan naik.

Contoh :

Dimana C = ∫ MPC dY = ½ dY + c, bila pendapatan = 0 dan konsumsi autonomsnya adalah 50, maka fungsi konsumsi, tabungan dan Pendapatan Nasionalnya adalah…

Jawab :
C         = ∫ MPC dY
= ∫½ dY
= ½Y + 50

S          = Y – ( ½ Y + 50 )

= Y – 50 – ½Y

S          = ½ Y – 50

Atau

S          = Y – C

S          = ∫ MPS dY

= ∫ ½ dY

= ½Y – 50

Y          = C + S

Y          = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y – 50 )

Analisa :Dari perhitungan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi konsumsi adalah C = ½Y + 50, fungsi tabungan adalah S = ½ Y – 50, dan fungsi pendapatan nasionalnya adalah Y = ( ½ Y + 50 ) + ( ½ Y – 50 ).

Daftar Pustaka :

Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, edisi kedua, BPFE, Yogyakarta,

1995.

Leave a Comment »

No comments yet.

RSS feed for comments on this post. TrackBack URI

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

Blog at WordPress.com.

%d bloggers like this: